第二十章 欧几里得算法

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欧几里得学生卡农对欧几里得说：“如果可以可靠的求出两个数字的最大公约数？”

欧几里得说：“用辗转相除法就可以，如果求a和b的最大公约数，如果a大于b，那就是a除以b，然后得到余数，然后再让除数b除以余数，然后一直让除数除以余数，最后余数为0的时候，得到的除数就是a和b的最大公约数。”

卡农说：“假如说1997和615这两个数字。”

欧几里得说：“1997除以615，等于3余出152。”

卡农说：“然后怎么求？”

欧几里得说：“除数除以余数，615除以152等于4余7.”

卡农说：“然后152除以7等于21余5.”

欧几里得接着说：“没错，然后7除以5，等于1余2.”

卡农说：“5除以2，等于2余1.”

欧几里得说：“2除以1，等于2余0.”

卡农说：“不能再往下了，余数已经为0，所以1997和615的最大公约数为1.”

欧几里得说：“所以说，相当于没有最大公约数。”

在以上基础上，后来数学中发展了环的概念，整环R是符合一下接个要求的：

1、A 关于加法成为一个 Abel 群（其零元素记作 0）；

2、乘法满足结合律：(a * b)* c = a *(b * c)；

3、乘法对加法满足分配律：a *(b + c)= a * b + a * c，(a + b)* c = a * c + b * c；

如果环 A 还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：

4、乘法交换律：a * b = b * a。

如果交换环 A 还满足以下两条件，就称为“整环”（integral domain）：

5、A 中存在非零的乘法单位元，即存在 A 中的一个元素，记作 1，满足：1 不等于 0，且对任意 a，有：e* a = a * e= a；

6、ab=0 => a=0 或 b=0。

而后来也引入了欧几里得整环的概念，这是抽象代数中，这是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。