第27章 教案（2）
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以下是一个关于清华大学大二数学中数学建模相关内容的教案示例：
《清华大学大二数学：数学建模初步》教案
一、教学目标
1. 让学生了解数学建模的基本概念、重要意义和方法步骤。
2. 通过实际案例，引导学生学会将实际问题转化为数学模型。
3. 培养学生的数学应用意识和创新思维能力。
二、教学重难点
1. 重点：理解数学建模的方法步骤，掌握如何从实际问题中抽象出数学模型。
2. 难点：针对具体问题选择合适的数学方法建立有效模型，并对模型进行求解和分析。
三、教学方法
讲授法、案例分析法、小组讨论法
四、教学过程
（一）课程导入（5 分钟）
通过介绍一些现实生活中需要用数学方法解决的问题，如交通流量预测、资源分配等，引出数学建模的重要性，激发学生的学习兴趣。
（二）知识讲解（30 分钟）
1. 数学建模的定义（5 分钟）
- 讲解数学建模的概念：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
- 强调数学建模是用数学方法解决实际问题的第一步。
2. 数学建模的重要意义（5 分钟）
- 介绍电子计算机的发展使得数学向各领域渗透，数学建模受到越来越多的重视。
- 举例说明数学建模在一般工程技术、高新技术领域以及新领域中的具体应用，如分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理等。
3. 数学建模示例（20 分钟）
- 椅子能在不平的地面上放稳吗（10 分钟）
- 问题分析：引导学生思考如何将椅子能否放稳的问题转化为数学问题，指出关键是用数学语言表示椅子位置和四只脚着地的关系。
- 模型假设：四只腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形；地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
- 模型构成：利用正方形的对称性，用对角线与 x 轴的夹角表示椅子位置；定义两个距离函数 f(θ)和 g(θ)分别表示 a,c 两脚与地面距离之和以及 b,d 两脚与地面距离之和。
- 数学问题：已知 f(θ)和 g(θ)是连续函数，对任意θ，f(θ)g(θ)=0，且 g(0)=0，f(0)＞0，证明存在θ0，使 f(θ0)=g(θ0)=0。
- 模型求解：简单介绍证明方法，即将椅子旋转 90°，利用函数的连续性和基本性质得到结论。
- 商人们怎样安全过河（10 分钟）
- 问题描述：给出商人和随从过河的具体情境及规则。
- 问题分析：强调这是一个多步决策过程，决策是每一步船上的人员安排，需在安全前提下经有限步使全体人员过河。
- 模型构成：设定状态变量 xk 和 yk 分别表示第 k 次渡河前此岸的商人数和随从数；xk, yk = 0,1,2,3；k = 1,2,...；确定目标是在满足约束条件下找到安全过河的方案。
（三）小组讨论与实践（15 分钟）
1. 提出一个简单的实际问题，如学校食堂排队问题或图书馆座位分配问题等，让学生分组讨论如何建立数学模型。
2. 各小组推选代表汇报讨论结果，分享所建立的数学模型及思路。
（四）总结与拓展（10 分钟）
1. 总结数学建模的方法步骤：作出简化假设、用符号表示有关量、列出数学式子、求解数学解答、回答原问题。
2. 鼓励学生在课后关注生活中的实际问题，尝试运用数学建模的方法去解决，提高数学应用能力。
（五）课后作业
1. 布置一道数学建模练习题，要求学生按照所学方法步骤建立模型并求解。
2. 让学生阅读一篇关于数学建模应用的文章，下节课进行分享和讨论。
以上教案仅供参考，你可以根据实际教学需求进行调整和补充。如果有具体的教材或教学大纲要求，还需要结合相关内容进行更详细的设计。在教学过程中，应注重引导学生积极思考、参与讨论，培养他们的创新能力和解决实际问题的能力。同时，可以根据学生的反馈和实际教学情况，对教学内容和方法进行适时调整，以提高教学效果。
对于大学生来说，参加数学建模竞赛不仅可以锻炼解决实际问题的能力，还能培养团队协作精神和创新思维。以下是一些适合大学生参加的数学建模竞赛：
1. 全国大学生数学建模竞赛：创办于1992年，每年一届，是首批列入“高校学科竞赛排行榜”的19项竞赛之一，是中国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。
2. 美国大学生数学建模竞赛：是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛，由美国数学及其应用联合会主办。竞赛要求最多由三名学生组成的团队对开放式应用问题进行分析、建模、求解并提交解决方案报告。该赛事由美国数学学会、美国工业与应用数学学会、美国自然基金协会、美国国家安全局联合举办。
3. “华为杯”中国研究生数学建模竞赛：是“中国研究生创新实践系列大赛”主题赛事之一，是面向在校研究生进行数学建模应用研究的学术竞赛活动，是广大在校研究生提高建立数学模型和运用互联网信息技术解决实际问题能力，培养科研创新精神和团队合作意识的大平台。
4. “深圳杯”数学建模挑战赛：“深圳杯”数学建模挑战赛的连续举办，不仅提供了一个充分展示个人数学思维、构建模块能力的平台，而且激发出大家对于数学和基础科学研究的永久热情，鼓励更多人热爱科研、投身科研，推动中国核心技术突破与基础科研的进步。
5. 全国大学生统计建模大赛：是国内统计学领域的顶级赛事，旨在通过实际问题的建模分析，促进统计理论、方法与实践的结合，提升大学生的数据分析能力和创新能力。
6. 数维杯国际大学生数学建模挑战赛：竞赛每年分为两场，每年上半年为数维杯国赛（5月，俗称小国赛），下半年为数维杯国际赛（11月）。目前竞赛具有较高的国际影响力，在国内高校中是作为美赛大型热身、保研、综合测评、创新奖学金等评定竞赛之一。
7. “科创杯”全国大学生数学建模竞赛：旨在培养大学生的创新意识、协作精神及运用数学方法和科技教育解决社会问题的能力，是由香港高等教育出版社，联合中国工业应用数学研究院（香港），国际大学生商学联合会 IFbS（总部香港特别行政区），面向研究生、本科生和专科生的赛事。
全国大学生数学建模竞赛的赛制如下：
1. 竞赛每年举办一次，一般在9月的某个周末前后的三天内举行。2024年的竞赛时间为9月5日晚上6：00至9月8日晚上6：00。
2. 全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行。赛题于竞赛开始时在指定的网站公布，供参赛队下载。
3. 大学生以队为单位参赛，每队3人（须属于同一所学校），专业不限。竞赛分本科、专科两组进行，本科生参加本科组竞赛，专科生参加专科组竞赛（也可参加本科组竞赛），研究生不得参加。每队可设一名指导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论，否则按违反纪律处理。
4. 竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。
5. 参赛队在规定时间内完成答卷，并准时交卷。
6. 各赛区组委会聘请专家组成评阅委员会，评选本赛区的一、二、三等奖，获奖比例一般不超过三分之一，其余凡完成合格答卷者可获得成功参赛奖。
7. 各赛区组委会按全国组委会规定的数量将本赛区的优秀答卷送全国组委会。全国组委会聘请专家组成全国评阅委员会，按统一标准从各赛区送交的优秀答卷中评选出全国一、二等奖。
8. 全国与各赛区的一、二、三等奖均颁发获奖证书。
9. 对违反竞赛规则的参赛队，一经发现，取消参赛资格，成绩无效。对所在院校要予以警告、通报，直至取消该校下一年度参赛资格。对违反评奖工作规定的赛区，全国组委会不承认其评奖结果。
本科组参赛队从竞赛题目中任选一题，专科组参赛队也从相应题目中任选一题。全国评奖时，每个组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配，但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每道题参赛队比例分配。
竞赛题目一般来源于科学与工程技术、人文与社会科学（含经济管理）等领域经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。