第24章 四重奏
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2020年夏，旅芝国首都，拉维港
“玉汗人特别狡猾，其情报局又人才济济，想骗过他们很不容易。”勒夫看了看频频点头的凯兹，转过身继续向沙姆隆二世汇报：
“我和凯兹商量之后，结合他这个标准理工男的特点，制定了一个引诱玉汗人上钩的计划。”
“如果我们把凯兹派到国外，与他的特长和工作性质明显不符，很难不被怀疑。但在拉维港，若是面对面被策反，简直是天方夜谭。所以，我们希望引诱玉汗人通过互联网策反凯兹。”勒夫继续分析道：
“凯兹是‘铜墙’导弹防御系统的核心设计师之一，我们相信他一定在玉汗人的关注名单之中。最近凯兹被处分，玉汗人也一定注意到了。”
“你们是想让玉汗人在暗网上，主动联系凯兹？”沙姆隆二世问道。
“是的，我是个程序员，也是一个科学爱好者，我匿名在暗网上活动，但有意让有心人可以破解并追踪到我家的 IP地址。”凯兹胸有成竹地说道。
“我们计划让凯兹上一个程序员们做脑力体操的论坛。由凯兹主动发布烧脑的帖子，相信跟帖中一定会有玉汗国特工。”勒夫说道。
“嗯，然后你们在跟帖中选择聊天对象，再通过聊天找到目标？”
三人互望着，笑了。
所谓的暗网，不是指某一个具体的网站，而是对可匿名又很难追踪的网络的统称。
通常资深玩家都是网络高手，甚至是黑客级别的骨灰级玩家。
见不得光的黄赌毒、买凶买枪当然会首选暗网。
但上暗网的也不全是坏人，很多工作压力大、社恐的程序员就很喜欢在其间发布一些烧脑的问题，等待高手破解。
勒夫看着凯兹熟练地敲击着键盘，定义他的住所 IP地址为底层之后，做了层层加密处理。
凯兹转来转去之后，终于打开了对话框，输入了他的网名：
“log(n)-费马检验的四重奏”。
凯兹悠闲地从椅子上站起来，走到窗口开窗透气。
勒夫一脸不解，问道：
“你怎么光输入名字，不出谜题呢？这怎么引人上钩呀？”
凯兹神秘地笑了，说：
“我的网名就是谜题，等着吧。”
玉汗国高原城
哈米德叫来了巴希尔和罗珊娜，布置了任务：
“旅芝国‘铜墙’防御系统的核心设计者之一凯兹，因错被罚，很可能心存不满。情报中心发现他今天登陆了一个暗网，你们通过匿名身份，跟他聊聊，试探一下。”
“‘铜墙’系统核心设计者？旅芝人受再大的委屈，也不可能投靠我们吧？”巴希尔摇着头表示怀疑。
“我也觉得不可能，但是，旅芝国技术特工上暗网本身就不正常，我们可不是那么好骗的，边聊边分析吧。”罗珊娜点头赞同巴希尔的意见，接着对哈米德说：
“老爸，把网址链接和他的网名、聊天记录给我们吧。”
“没有聊天记录，只有一个网名，log(n)-费马检验的四重奏。”哈米德忍不住笑着说道。
“有意思，巴希尔，这是你的强项，应该是一个关于数论的谜题吧？”罗珊娜对巴希尔眨了一下眼睛，充满期待地看着他。
巴希尔边思考，边给罗珊娜讲解。
费马是著名的业余数学家，他被全世界记住和熟悉，主要是因为看似简单的费马大定理，困扰了数学界将近300年，直到1995年才被证明。
而费马小定理虽然没有那么高的知名度，但其对于数论和密码学的贡献是毫不逊色的，可以说是研究素数的基础。
所有的素数都满足费马小定理，但反过来，满足费马小定理的整数却不一定是素数，这些不是素数的整数被称为伪素数。
现代密码学离不开素数，密码编制者可以任意使用两个很大的已知素数A和B，可以很容易得到乘积C。
发送密码的人只需发出C，就是我们熟悉的所谓“公钥”。
截获C的任何人想要知道A或B，除非有密码本，否则，就需要用非常大的计算量，进行困难的整数分解。
当C足够大时（比如2^1024），整数分解需要数月甚至数年的计算时间，也就达到了保密的目的。
为了确保A和B是素数（否则，分解难度会指数级减小），素数判定问题就成为数论和密码学研究的一个紧迫的课题。
使用计算机检验一个大整数n是否是素数，有很多种方法。无论哪一种方法的目标都是尽可能缩短检验时间。
密码学中使用的整数n特别大，即使用计算机，计算次数也不能与n相关（位数会挤爆内存），最多只能与log(n)相关。
2002年，三位数学家证明了在多项式时间log^12(n)之内，后来优化为log^7.5(n)，可以对任意整数n进行确定性的素性检验。
该检验方法以三位数学家的姓氏首字母命名为AKS检验法。
遗憾的是该检验方法消耗的计算机内存过大，无法上机实用。只能停留在论文层面。
目前，应用于军事、通讯、金融的密码，底层的素性检验程序使用的是概率检验法。
比较流行的算法是基于米勒-拉宾检验的复合算法。
由于费马伪素数数量太多了，不能仅使用费马小定理进行素性检验用于加密。
巴希尔的介绍让哈米德昏昏欲睡，他连忙收住话头，指着那个奇怪的网名说：
“作为数论研究，有些数学爱好者仍然利用费马检验，探寻整数的极为有趣的性质。比如我曾经看到过一个有意思的猜想。”巴希尔接着说：
“对任意整数n从二进制到log(n)向下取整进位制，进行费马检验，能够通过检验的伪素数除卡迈克尔数之外，必有n=(a+1)(2a+1)的形式。”
“有爱好者在互联网发帖，公布了2^64以内的47个伪素数，均满足上述猜想。”
“其中最小的n=242017633321201=11000401×22000801。”
“这47个数的两个因子都是素数吗？”罗珊娜好奇地问道。
“你说到关键了，按照猜想，a+1可以是素数也可以是合数。如果我没记错，其中46个数都只有两个素因子，只有一个n的 a+1是三因子合数，2a+1是个素数，这个n是由四个素因子组成的合数。”
罗珊娜终于听明白了，问道：
“四重奏指的是四个素因子？对于小于2^64所有整数进行费马检验，进位制从2至log (n)，能通过检验的非卡迈克尔数的伪素数只有一个四因子合数。这个满足条件的最小的四因子合数到底是哪个数呀？”
巴希尔打开自己的电脑，从收藏夹中找到了包含47个数的表格，把那个唯一的四因子伪素数抄在了黑板上：
n=168562580058457201=103×307×9181×580624801
其中， a+1=103×307×9181=290312401。
“这就是log(n)-费马检验的四重奏！”巴希尔得意地说道。
哈米德赞许地看着巴希尔问道：
“你们给那个凯兹回复的内容就是这四个数字，对吧？”
巴希尔点头表示认可，罗珊娜若有所思地说道：
“回复这四个数字仅仅是解开了他出的谜题，为了使聊天进行下去，我们也需要起一个自带谜题的网名，考考他。”
“这个有意思。”巴希尔将网名输入栏空着，在下面输入了聊天内容：
“103，307，9181，580624801”
巴希尔将键盘推给了罗珊娜，顽皮地做了一个请的动作。罗珊娜想了想，在网名栏中输入：
“O(√n ln(n))-黎曼猜想的三和弦。”