第六百六十九章 Frankl的并封闭集合猜想

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对于一个包含至少2个集合的、对并运算封闭的有限集合族，至少存在一个元素，使得它在至少一半的集合里出现过。

我们来解读一下这个猜想说的啥。

首先集合，就是包含了一系列元素的合集，这里面的元素既可以是数字，也可以是变量等。

例如这是一个我们常见的数集，而且是有限的（只包括3个元素）：{1，2，3}

至于无限数集，就像是自然数集、有理数集、整数集这种由无限个元素组成的集合。

当然，集合也有集合，它们组合起来，就可以被叫做集族，例如下图中F就是一个集族：

在这些集族中，有一类特殊的集族对并运算封闭。

对集族中的集合而言，并运算就是对两个集合求并集；至于并运算封闭，即是指在对任意两个集合进行并运算后，其结果仍然在这个集族中。

以下面这个集族为例：{1}{1，2}{1，2，3}{1，2，3，4}

无论是对{1}、{1，2}求并集，还是对{2，3，4}、{1}求并集，还是对{1，2}、{2，3，4}求并集……任意两个集合求并集，其结果都会在这个集族中。

所以，上面这个集族就符合并封闭集合这一要求，而并封闭猜想也正是基于此而提出。

值得注意的是，这一猜想中的“一半”是紧致的，毕竟对于任何一个集合的子集族，所有的元素恰好在一半的集合里出现过。

它于1979年被一个叫péter Frankl的数学家提出，所以也一度被叫做Frankl猜想。

看起来似乎不难，然而到实际解决时，一众数学家才发现这并不简单。

达特茅斯学院数学教授peter winkler曾经在1987年就这个猜想给出尖锐的评价：

并封闭集合猜想确实很有名，除了它的起源和它的答案。

为了解决这个问题，数学家们也已经尝试过不少方法。

例如有人试着给猜想加上一些限制条件，让它在这些情况下成立。

像是将它和图论中的二分图（bipartite Graph）联系起来，证明具备其中某种性质的集族，在这个猜想的条件下成立。

又或是给其中的元素加以限制，再加以证明……

bUt，无论是哪种方法，距离真正需要证明的猜想都还差不少距离。

来自哥伦比亚大学的助理教授will Sawin对此评价称：

它看起来似乎是个不难解决的东西，毕竟长得和那种“容易解决的问题”很像。

然而，如今却没有任何一个证明能真正搞定它。

问题就这样进度缓慢，直到2022年秋天，谷歌研究员Justin Gilmer借着朋友结婚的契机，回到了罗格斯大学校园。

Gilmer回母校的时间是2022年10月，此时距他毕业离开数学学术圈，已过去7年。这些年来，他自觉无心专注纯数学领域，转而自学编程，投身了It行业。

此次返校，他拜访了导师萨克斯，还四处转了转。

就在散步中，他突然回忆起——当年自己徘徊于校园小径，苦苦思索的一个数学问题：

没错，就是那个对“并封闭集合猜想”的证明。

读博期间，Gilmer绞尽脑汁，花了一整年时间却毫无进展，只是搞明白了为什么这一看似简单的问题难以解决。

为此，他还去找过导师萨克斯。但导师也曾在该问题上停滞不前，因而他既不看好Gilmer的研究，也不愿重新碰这一领域。据Gilmer回忆，当时导师差点把他赶出房间。

但现在，重回校园转一圈的Gilmer有了个新想法：用信息论及相关原理解决并封闭猜想问题。

Gilmer的思路是找反例。

根据并封闭集合猜想，一个正常的并封闭集族中，至少应该有一个元素在多于一半的集合中出现。

既然如此，只要想办法构造一个特殊的集族，里面没有一个元素出现在超过1%的集合中，这个猜想就会被证伪，反之如果构造不出来，那么猜想就可能成立。

现在，我们用信息论视角看这一猜想：

正常来说，如果从集族中任意挑出两个集合，这两个集合取并集后，并集中的元素比原来两个集合更多，其信息熵应该比原来的单独两个集合更低。

然而如果基于“没有一个元素出现在超过1%集合”这个限制条件，任意两个集合取并集后，计算出来的信息熵竟然比原来的单独两个集合更高。

这显然是不可能的，因此不存在这么一个特殊的集族，Glimer的反例也没有找到。

但这也就意味着在“并封闭”集族中，至少存在一个元素，会出现在超过1%的集合中。

2022年11月16日，Gilmer将这一思路写成论文，发表在了arxiv上。

当然，他这篇论文还不是“完全体”，也就是说并没有完全证明并封闭集合猜想——

毕竟这只是至少1%，还不意味着原来的并封闭集合猜想中的至少50%就成立。

但这个新思路已经足够让学界震动。

普林斯顿大学数学家Ryan Alweiss评价“引入信息量”这一操作：非常聪明。

仅仅几天后，就有3个不同的数学研究组基于他的研究，先后发表了研究论文，随后也有更多研究者跟进，他们所在院校机构有牛津、普林斯顿、哥大、布里斯托等。

在后续研究中，对“并封闭集合猜想”的概率值证明，被推进到了38%。

令这些数学家好奇的是，基于Gilmer的研究，他自己上手将概率值推进到38%并不难。

对此，Gilmer表示，自己已经五年多没碰数学了，确实不知道如何进行分析工作来将其进一步推进下去。

不过，他也认为，正是因为对相关数学方法的生疏，让他跳出了常理，用圈外办法取得突破。