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第四章 化圆为方

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化圆为方问题的完整叙述是:给定一个圆,是否能够通过以上说明的五种基本步骤,于有限次内作出一个正方形,使得它的面积等于圆的面积。

如果将圆的半径定为单位长度,则化圆为方问题的实质是作出长度π的开方为单位长度倍的线段。

公元前5世纪,古希腊哲学家阿那克萨哥拉因为发现太阳是个大火球,而不是阿波罗神,犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱。在法庭上,阿那克萨哥拉申诉道:“哪有什么太阳神阿波罗啊!那个光耀夺目的大球,只不过是一块火热的石头,大概有伯罗奔尼撒半岛那么大;再说,那个夜晚发出清光,晶莹透亮象一面大镜子的月亮,它本身并不发光,全是靠了太阳的照射,它才有了光亮。”结果他被判处死刑。

在等待执行的日子了,夜晚,阿那克萨哥拉睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房,他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置,一会儿看见圆比正方形大,一会儿看见正方形比圆大。最后他说:“好了,就算两个图形面积一样大好了。”

阿那克萨哥拉把“求作一个正方形,使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决,谁料想他把所有的时间都用上,也一无所获。

经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救,阿那克萨哥拉获释出狱。

他把自己在监狱中想到的问题公布出来,许多数学家对这个问题很感兴趣,都想解决,可是一个也没有成功。这就是着名的“化圆为方”问题。

化圆为方是古希腊尺规作图问题之一,即:求一正方形,其面积等于一给定圆的面积。由π为超越数可知,该问题仅用直尺和圆规是无法完成的。但若放宽限制,这一问题可以通过特殊的曲线来完成。如西皮阿斯的割圆曲线,阿基米德的螺线等。

二千年间,尽管对化圆为方问题上的研究没有成功,但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰(公元前430)为解决此问题而提出的「穷竭法」,是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形(或正6边形),然后每次将边数加倍,得内接8、16、32、…边形,他相信「最后」的正多边形必与圆周重合,这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的,但却提供了求圆面积的近似方法,成为阿基米德计算圆周率方法的先导,与中国刘徽的割圆术不谋而合,对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。

现已证明,在尺规作图的条件下,此题无解。

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