第41章 谁能想到看个小说还要学习微积分
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叶知寒在教室中走了两圈。
接着把试卷放在讲台上，敲了敲讲桌。
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“各位先停笔，我观察这次的考试有些过于超纲，以至于很多同学都无从下手。”
“考试是检测各位同学的所学，所用的效果，如果一个字都写不出来，那就是白白的浪费时间。”
“所以我先用半个小时的时间，将这张试卷上会用到的微积分知识进行讲解，各位不必当堂学会，但在做题的时候，如果用到了哪些知识点，就把这个知识点写上去。”
“主要考察的还是各位的做题思路和逻辑思维能力。”
说着，叶知寒拿起粉笔，转身便在黑板上书写了起来。
“我们可以把微积分拆分成微分和积分，而积分这个词当初被制造出来，就是用来表示由无数个无穷小的面积组成的面积S。”
“这个很容易理解，在数学世界中，面积不是只有正方形、长方形，他还有很多复杂不规则的形状，比如炮弹发射后产生的抛物线和水平面所产生的面积。”
“而想要计算这些面积，人类现在的方法是用无数个足够小的矩形，将这个面积不断的填充，然后通过计算这些矩形的面积的总和，来得出这个抛物线的最终面积。”
“不过，我要强调一下，把积分当作是求面积，这些都是微积分创立初期的看法。这种看法非常符合我们的直觉，但是逻辑上是不严密的。。”
“直到人们意识到破解这种求曲线面积的关键，竟然藏在一个看起来跟它毫无关联的东西身上的时候，数学才迎来了一次空前绝后的发展。这个东西就是微积分名字里的另一半：微分。”
“提到微分，就要先引入一个概念——切线。”
“然后大家开始思考，如果要把曲线分割成无穷小的矩形，那这个矩形有多小，才能让我们要计算的面积更加准确？”
叶知寒问完，整个大教室中所有人都沙沙沙的写个不停，半晌才抬起头。
这些都是非常基础的知识，曾经他在丑国任教的那段时间，比这难许多倍的问题，如果有同学提问，他都会以一句“太简单了，拒绝回答”来怼回去。
可现在看着自己国家的学子，他还是心疼的问道：“我讲的是不是太快了？要不我给你们再讲一遍？”
“没有的叶老师，我们消化一下还是可以理解的，只不过您讲的这么细微，我们就想多记一些笔记。”
叶知寒道：“主要是思考，微积分不是简单的计算，他的逻辑能力要比计算能力更加重要。”
“等你们整理完笔记，思考我刚才的问题。”
朱倩在前面开口道：“是不是切线的长度？”
说完，她急忙改口：“不是切线长度，而是切线哪一个点的长度。”
有同学质疑道：“点还有长度？点不是没有长度的吗？”
“好，”叶知寒欣慰的拿着粉笔敲了敲黑板：“那接着就是各位触碰微分的时候了。”
叶知寒画了一个坐标轴，在坐标轴上画了一条抛物线，然后任意取了Ab两点。
在A点画了一条切线，在Ab连线画了一条割线。
他指着两条辅助线，沉声问道：“那如果我问你们，随着b点不断滑向A点，Ab之间的割线，是什么时候变成切线的？”
所有学生陆续若有所思的点头，仿佛一下子开窍了一般。
一个同学回答道：“Ab点重合的时候，他们的割线就变成了A点的切线。”
“很好，”叶知寒道：“但是如果b点和A点重合，那就只剩下一个点了，我们都知道，俩点才能确定一条直线。”
又有人不解道：“可如果不重合的话，那就是割线了啊。”
“对，从这里，我们就发现了一个看似非常简单直观，但怎么都没办法圆的情况，两个点不行，一个点也不行，”叶知寒突然笑道：“也就是说A、b两点必须无限靠近，且又不能重合，这样他们的距离就无限接近于零，但又不等于零，这不就是我们需要的那个无穷小的概念吗？”
所有学生一时间豁然开朗。
他们看向叶知寒的目光，也变得更加敬重。
能把知识掰碎了，嚼软了之后，喂给他们，完全值得他们的尊敬。
再往后，知识的难度逐渐增加。
但叶知寒还是坚持把最底层的原理和逻辑告诉他们。
因为很多高大上的理论，对他们而言都是天书，与其给他们教一些复杂且蹩脚的符号公式，远不如教会他们数学思维来的实在。
……
大概一个小时之后，叶知寒这才放下了粉笔。
“总之，牛顿和莱布尼茨发现了微分和积分是一对互逆运算这个惊天大秘密，正式宣告了微积分的诞生。”
“柯西和魏尔斯特拉斯用e-δ语言重新定义了极限，把风雨飘摇中的微积分重新建立在坚实的极限理论基础之上，彻底解决了幽灵般的无穷小量的问题，解决了第二次数学危机，也在数学领域解决了芝诺悖论。”
“勒贝格基于集合论，对积分理论进行了一次革命，建立了定义范围更广的勒贝格积分，并且进一步把这场革命推进到了实分析。”
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大教室中，二百多名学生，皆在低头书写。
草稿纸上密密麻麻们的笔记，无疑是这次考试最宝贵的财富。
叶知寒道：“本场考试可能会用到的理论知识都已经告诉大家了，接下来差不多相当于是开卷考试，所以时间紧迫，各位抓紧做题，不需要计算，如果用到哪个知识点可以直接写上，然后继续下一步分析就行。原规定的考试时间是四点半结束，我再给大家半个小时时间，五点结束。”
声音落下之后，没多久教室里就陆续开始传出翻卷子的声音。
等过了半个小时，约莫着所有考生应该都陆陆续续进入了状态，他便又从讲台上走了下去，开始检查这些学子的做题情况。