第38章对角线激增

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她是BJ大学数学系的学生，对一些数学问题很感兴趣。那么，有请她。埃斯皮诺萨说着，就有一位女生出来了。

她说：大家好，我叫核桃。这是网名，不是真名。我是个不喜欢麻烦的人，不愿意在陌生的场合公布自己的真实姓名。其实，名字就是一个代号，叫什么不都一样吗？好了，回到正题。

大家知道对角线是从哪种多边形开始的吗？没错，就是四边形。从四边形到五边形，对角线的数量增加了一倍。请问，导致对角线激增的原因是什么？

按照本国人优先原则，小尼就说：对角线和点有关。我们一个点可以其他的点构成对角线，然而有两条线不是对对角线。因为其中两个点和这个点是相邻的，而它们的连线是多边形的两条相邻的边。把四边形和五边形拿来对比是不行的。多边形可以分为奇边形和偶边形。其中，奇边形只有是正的的时候才是对称的。而偶边形却可以在很多情况下出现对称。而对称性又会影响多边形的对角线的数目。从四边形的两条到六边形的七条，对角线在激增是无疑的。从五边形的五条到七边形的十四条，也可以说是符合激增的。那么，对角形激增的原因是什么呢？首先来看奇边形。最简单的三角形是没有对角线。因为要有对角线的条件就是多边形的顶点是大于等于四，而三角形明显不符。说到五边形，它的对角线的数目刚好是自己的边数。而它的对角线可以在五边形内部围成一个小的五边形。这样的巧合，恐怕在数学里是独一无二的。其实，对角线的激增是和排列组合有关。或者准确地说是组合。因为对角线不是向量，没有方向。也就是说，排列的结果是等价的。这就要说到表面对角线的数目是大于实际对角线的数目，前者是后者的两倍。

艾丽西亚见到小尼说完，就说：激增的原因已经说得差不多了，我就说点别的。因为对角线要相交，所以对角线就把多边形划分成多个小多边形了。除了三角形，任何多边形的对角线都可以制造出三角形。可以说，三角形是一切多边形的基础。自身限制。

多边形的对角线不能构造比自身边数还多的多边形。

三角形除外，剩下的多边形的对角线形成它的下邻多边形或者和自己边数一样的多边形。如四边形就是五边形的下邻多边形。一般而言，奇边形的对角线可以形成和自己一样的同边多边形。而偶边形却只能形成自己的下邻多边形。

对角线形成的多个多边形构成一个多边形的内含群。不同的多边形互为内含群中的元素，没有谁从属于谁的绝对关系。

核桃说：对角线值得谈的还有很多，不过今天就要到这里了。说到对角线，就不得不说对角线点。我知道对角线点会按照一定的比例关系分割对角线，具体是怎么样的比例就有待讨论了。至于比例，自然和边有关。但是如果从边来求出对角线的分割与边的关系恐怕是很困难，所以我就反过来。当四边形的对角线满足1：2分割，而且1所在的线同方向时，必定有四边形的最短边是它的某一边的1/3。

……。